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1.3 CAS D'UN SOLIDE EN ROTATION

 

1.3 L'énergie cinétique de rotation

 

Dans le cadre de notre TPE, nous pouvons nous interresser au mouvement de rotation des roues motrices que nous allons définir à l'aide d'un exemple.

La figure suivante représente un système composé de deux particules m1 et m2 reliées entre elles par une tige de masse négligeable. L'ensemble est en rotation à une vitesse angulaire w (en rad/s) autour d'un axe situé à une distance r1 de m1 et r2 de m2.

 

 

Pour obtenir les propriétés du moment d'inertie du système illustré ci-haut, considérons l'expression associée à son énergie cinétique (énergie associée au mouvement). Pour les corps ponctuels possédant une vitesse instantanée v et une masse m, l'énergie cinétique est donnée par l'expression :

Ec = ½ mv 2

L'énergie cinétique (de translation) du système illustré a donc pour expression

Ec total = ½ m1v12 + ½ m2v22

La vitesse de translation (sur une trajectoire circulaire) de chacune des deux masses est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation du système. L'énergie cinétique associée à la rotation du système est donc proportionnelle à w 2. Puisque v = w r, en remplaçant v1 et v2 par w r1 et w r2 dans l'équation précédente on obtient

Ec total = ½ m1( w r1 )2 + ½ m2 ( w r2 )2

Ec total = ½ [ m1r12 + m2r22 ]w 2

Si la forme générale de l'expression de l'énergie cinétique de rotation est

Ecrot = ½ Iw 2

L'expression du moment d'inertie du système est donc

I = [ m1r12 + m2r22 ]

 

Cette expression met en évidence l'importance qu'a la distribution de la masse autour de l'axe de rotation. Ainsi, plus la masse est proche de l'axe de rotation, plus l'inertie de rotation (le moment d'inertie) sera petite (et vice-versa bien sûr).


Si le système décrit précédemment possède les caractéristiques suivantes;
m1 = 0,8 kg,  m2 = 0,5 kg,  r1 = 30 cm et 2 = 90 cm, 
quel est son moment d'inertie?

Réponse :
0,477 kg · m2

Cette formule reste également valable dans le cas ci-dessous :

Par extension,si un corps est animé d'un mouvement de rotation et de translation dans un plan, nous pouvons représenter ce mouvement par une translation du centre de masse suivie d'une rotation autour du centre de masse :

 

L'énergie cinétique totale du corps est alors donnée par:

K = (énergie cinétique de translation autour du centre de masse) + (énergie cinétique de rotation du centre de masse)

 

 

K = Kt + Kr

 

Dans cette formule:

M masse totale du corps

vcm vitesse du centre de masse

I moment d’inertie par rapport à un axe passant par le centre de masse

 


 


 

 


 


 

 

 

 

 

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